ramka ramka
 
1000000 $ za każdy rozwiazany problem !
Równo sto lat po słynnym programie Hilberta podczas majowej konferencji w Paryżu, Instytut Claya ogłosił listę siedmiu problemów milenijnych, aby uczcić nadchodzące nowe tysiąclecie. Wyboru problemów dokonał Komitet Naukowy, zaś nagrody finansowe (w wysokości 7 milionów dolarów) ufundował i zapewnił Dyrektoriat Instytutu. Podczas konferencji prasowej po ogłoszeniu listy problemów, główny inicjator i fundator nagród Łandon Clay mówił o roli matematyki, jej pięknie oraz sile, która pozwala ludziom dążyć do prawdy i pewności, zaś Andrew Wiles wyjaśnił motywy wyboru takich a nie innych zagadnień. O ile program Hilberta miał na celu ukierunkowanie rozwoju matematyki w XX stuleciu, o tyle ogłoszona lista stanowi wykaz wielkich nierozwiązanych problemów. Wybór ten był niesłychanie trudny i z konieczności pozostawił z boku wiele ważnych dziedzin matematyki. Wiles przypomniał swoją młodzieńczą fascynację twierdzeniem Fermata, a również starą nagrodą Wolfskehla z nim związaną oraz wyraził nadzieję i przekonanie, że także obecnie sformułowane problemy, jak i sowita zapłata za ich rozwiązanie, pobudzą wyobraźnię i zainspirują przyszłe pokolenia matematyków oraz otworzą nowe perspektywy dla całej matematyki. Ogłoszona lista spotkała się z żywą reakcją ze strony mediów (niestety w polskiej prasie niewiele było o niej informacji). Zarówno w codziennych i popularnych gazetach jak i w czasopismach naukowych pisano dużo na ten temat. Oto poniżej przedstawiona jest lista problemów milenijnych:

Hipoteza Riemanna
Liczb pierwszych (takich, których dzielnikami są wyłącznie 1 i sama ta liczba) jest nieskończenie wiele, co wiemy zapewne jeszcze ze szkoły. Czy istnieją jednak jakieś regularności w ich rozłożeniu? Okazuje się, że tak. Z częstością występowania liczb pierwszych ściśle związana jest pewna funkcja (z), zwana funkcją zeta Riemanna od nazwiska matematyka, który ją wprowadził. Otóż hipoteza mówi, że wszystkie interesujące zera tej funkcji (tzn. liczby zespolone takie, że (z) = 0) leżą na pewnej prostej. Sprawdzono już numerycznie ponad 1 500 000 000 takich miejsc - wszystkie mają tę właściwość. Dowodu (ani kontrprzykładu) nadal jednak nie ma...
Równania Naviera-Stokesa
Spokojny i gwałtowny przepływ wody, wiry w wodzie, turbulencje, wiatr i tornada - wydaje się, że wszystkie te efekty są opisywane przez równania Naviera-Stokesa. Choć zapisano je już w XIX wieku - do dziś mało o nich wiemy. Problem sformułowany na XXI wiek dotyczy rozwiązań tych równań - rozstrzygnięcia ich istnienia bądź znalezienia kontrprzykładu dla dowolnego czasu.
Hipoteza Poincarégo
Jeśli na powierzchni piłki umieścimy elastyczną zamkniętą pętlę, to bez większego trudu potrafimy ją ścieśnić do punktu, nie rozrywając jej ani nie opuszczając powierzchni kuli. Coś takiego nie jest możliwe, gdy zamiast powierzchni piłki weźmiemy dętkę - w tym wypadku zawijając odpowiednio naszą pętlę, już nie możemy jej ścieśnić do punktu. Okazuje się, że taka własność "ścieśniania" pętli wystarczająco charakteryzuje powierzchnię piłki (mówiąc "matematycznie", sferę dwuwymiarową); innymi słowy, jeśli każdą pętlę na dwuwymiarowej powierzchni potrafimy ściągnąć do punktu - powierzchnia ta musi być sferą! Hipoteza Poincarégo orzeka to samo - ale dla sfery trójwymiarowej: zdaniem genialnego matematyka francuskiego, analogiczna własność charakteryzuje ją tak samo, jak w wypadku dwuwymiarowym.
P czy NP ?
Niektóre problemy matematyczne i logiczne da się szybko rozwiązać przy użyciu komputerów - i stanowią one klasę problemów, z którą idealny komputer daje sobie radę w czasie będącym wielomianową funkcją zadanych mu parametrów (należą do tej klasy choćby układy równań liniowych czy problemy znajdowania najkrótszej drogi). Istnieją jednak zagadnienia, których rozwiązania znamy, ale nie są to rozwiązania równie "szybkie", jak w wypadku poprzednim. Czy da się wszystkie podobne problemy (zgrupowane w pewnej klasie, oznaczonej jako NP) rozwiązać szybciej? Czy też istnieją takie, których analizy nie da się już przyspieszyć w żaden sposób? Pytanie ciekawe i szalenie istotne z praktycznego punktu widzenia, bowiem problemy te związane są z kryptografią (łamaniem kodów), kolorowaniem map czy układaniem harmonogramów.
Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera
Problem znajdowania rozwiązań w liczbach całkowitych (czy ułamkowych) prostych równań (np. typu x2 + y2 = z2) fascynował matematyków już od dawna, jest on jednak ogromnie trudny. Jeden z problemów Hilberta (nr 10) - dotyczący znalezienia ogólnej metody rozwiązywania takich równań - okazał się wręcz (co oczywiście udowodniono) nierozwiązywalny! W pewnych szczególnych wypadkach coś da się jednak powiedzieć. Omawiana hipoteza łączy liczbę rozwiązań w liczbach wymiernych danego równania (ułamkowych) z zachowaniem pewnej funkcji. Gdy jej wartość w punkcie 1 wynosi 0, istnieje nieskończenie wiele rozwiązań wymiernych, gdy jest różna od zera - liczba rozwiązań jest skończona. Czy to prawda?
Teoria Yanga-Millsa
Teorie Yanga-Millsa, opisujące model matematyczny cząstek elementarnych i ich oddziaływań, są doskonale przetestowane i stanowią podstawę współczesnej teorii pola. Nie wszystkie jednak problemy z tej dziedziny udaje się opisać równie konsekwentnie - jak choćby fenomen "uwięzienia" kwarków (kwarków nie można zaobserwować pojedynczo, jedynie w cząstkach, które składają się z trzech kwarków lub pary kwark-antykwark). Postawiony problem dotyczy znalezienia w kwantowej teorii oddziaływań Yanga-Millsa, satysfakcjonujących z matematycznego punktu widzenia rozwiązań wyjaśniających ten fenomen.
Hipoteza Hodge'a
Badając kształty różnych obiektów (jak powierzchnia piłki, czy dętka), matematyka rozwinęła zaawansowane techniki usiłujące stwierdzić, czy kształt obiektów wielowymiarowych można przybliżać konstrukcjami z prostych obiektów o niższej liczbie wymiarów. Uogólnienia tego typu poszły jeszcze dalej, zatracając niemal całkowicie początkowy związek z geometrią i obiektami geometrycznymi. Hipoteza Hodge'a sugeruje, iż dla niektórych specjalnych obiektów pewne konstrukcje algebraiczne są ściśle związane z określonymi tworami geometrycznymi.

ramka   ramka
© Copyright by Matematycy i nie tylko 2004 - 2016


Adres niniejszej strony to:

www.php.net   w3c